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La espiral de Ulam

El aburrimiento puede ser padre de curiosos descubrimientos. Allá por 1963, el matemático polaco, nacionalizado estadounidense, Stanislaw Marcin Ulam, se encontraba en un congreso científico. Nada fuera de lo corriente, pero claro, por muy matemático que uno sea, si lo que se está tratando, o el que lo transmite, es un ladrillo, el aburrimiento nace tarde o temprano. Total, que Ulam tomó su lapicero y empezó a garabatear números en su cuaderno de notas para pasar el rato. Mucha gente garabatea dibujos o cualquier otra cosa mientras habla por teléfono o cuando está en clase, pero Ulam, como matemático que era, no se limitó a pintar muñecos. Comenzando por el número 1, garabateó números naturales, en forma de espiral. Muy aburrida tendría que ser la conferencia, porque la espiral creció en el papel, creció, creció… Así, hasta que pareció un bosque de números. La cosa iba para largo, con lo que alguna utilidad lúdica habría que buscar al papelillo. Cualquiera hubiera comenzado a garabatear sobre otra hoja limpia, pero Ulam decidió que sería más divertido señalar los números primos en la espiral.

Sorprendentemente, de esa forma, se descubrió la que hoy día se conoce como Espiral de Ulam, en la que los números primos tienden “misteriosamente” a caer ordenados en líneas diagonales formando un intrigante patrón:

espi3

Más información:
Ulam spiral (Wikipedia)
The Mysterious Ulam Spiral Phenomenon
Prime Spiral
Espiral de Ulam (Applet Java)


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29 Comentarios

  1. José Antonio

    La historia de la ciencia está plagada de descubrimientos casuales, unos más trascendentales que otros, lo que suele referirse con el término «serendipity». Ahora me vienen a la mente, por ejemplo, el descubrimiento accidental de los rayos X por Roentgen o, por poner un ejemplo más cercano, el del pegamento que dio origen a los Post-It, que por cierto se reseñaba no hace mucho en este blog. Creo que no has escrito nunca sobre la «serendipia». ¿Verdad que es un tema que da mucho juego?

  2. José Antonio

    Ja, ja, ja. Ya me extrañaba a mí… (Perdón, no lo había leído).

  3. MgL

    ¡Que curioso! ¡Y que poco debemos saber aun de los primos!

  4. nieves (abelgalois)

    El interés por los números primos es muy antiguo,como que Euclides ,unos 300 años antes de nuestra era,ya se ocupó de ellos en el tomo IX de Los Elementos http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm.. y fue él ,el primer matemático que demostró que eran infinitos,una demostración absolutamente sencilla y que todos podríamos comprender.Pero el auténtico “friki “de los numeros primos fue Fermat ,siglo XVII,que era un aficionado a las matemáticas…pero dió unos cuantos quebraderos de cabeza,con la conjetura de Fermat http://personales.ya.com/casanchi/mat/conjeturafermat.pdf

  5. GONZO

    El de los dos ultimos comentarios. Hay que ser tonto para decir tantas tonterias juntas porque simplemente no ha entendido nada del artículo…

  6. Jaime

    Realmente intrigante lo del “espiral primo”, me recordó cuando puse a Pi en fila para ver que no era nada del otro mundo :'( http://flickr.com/photos/peewack/102585611/in/set-72157594180898707/

    ya haré otros “experimentos”, es como jugar el Juego de la Vida (el de Conway).

    Saludos

    Para que sepan: los “frikis” si follan, y sin necesidad de andar en discotecas de mala muerte

  7. alpoma

    #GONZO #Jaime: Naturalmente, he borrado esos dos mensajes, no había lugar para basura así en es este lugar.

  8. Donosti

    Grandes casualidades , como se tuvo que aburrir para terminar haciendo eso. xD

  9. pablo

    Pues a mi esto no me parece una casualidad. En realidad es una tonteria.
    Si os fijais, al disponer asi los numeros, todos los impares se disponen en diagonales, si elegimos impares al azar obtendremos patrones parecidos; lo que quiero decir es que los numeros estan en diagonal por ser impares, no por ser primos. de hecho el unico que no cumple el patron es el 2, que no coincide en ninguna de sus dos diagonales con ningun otro primo.

  10. MgL

    Eso mismo me estaba rallando a mi, Pablo. Porque seleccionando numeros al azar en lugar de primos, también tendían a agruparse en diagonal… después de leer tu comentario me he dado cuenta de que son los impares… ya no le veo mucha gracia a la espiral, jeje.

  11. Philip

    Asi que son los impares… si coges pares tambien se forman diagonales. Pero ahi esta la gracia, los primos son especiales. Y no os habeis dado cuenta, pero ya os lo digo yo, los primos son todos impares (excepto el 2) por su propia naturaleza de indivisibilidad.

  12. Richar

    Lo de los impares es cierto, habria que probar garabatear solo impares haber si asi se ve algun patron. Yo no lo hare porque se muy bago.

  13. Arvid

    Que aburrimiento, jajaj

  14. Carlos

    No creo que haya que buscarle a la espiral significado sobrenatural. Los patrones que se forman creo que no lo hacen por los primos (ya que su posicion no responde a ningun algoritmo, es decir, ¿¿¿es aleatoria???, esto último no lo sé). Pero los que sí que cumplen un patrón bien definido son los huecos que no se señalan , o sea, los números que no son primos.

  15. Arvid

    Hola Carlos, es verdad, los huecos hacen que se vea lo que no, pero la realidad es que los primos tienen un algoritmo, que nada tiene que ver con su disposicion en este espiral.
    Voy a tratar de experimentar algunas variaciones en la estructura.

  16. Carlos u7

    Menuda tonteria, no he entendido nada.

  17. Carlos

    Hola Arvid, me has dejado helado. Existe un algoritmo con el que se puedan calcular los numeros primos?. Entonces por que le dan tantas vueltas al arroz que si encriptacion con numeros primos gigantescos?. Puedes explicarlo un poco por favor. Gracias.

  18. Ivan

    Hay un algoritmo para COMPROBAR si un numero es primo, consiste en dividirlo entre todos sus antecesores (uno a uno) y comprobar que con ninguno se obtiene resto 0. Aplicarlo al numero 79846513617693 por ejemplo puede costar varios dias (o años o siglos…) de ejecucion incluso en el ordenador mas potente del mundo.

    NO EXISTE un metodo eficaz para determinar si un numero es primo, sigue siendo un misterio para los matematicos.

    Además por mucho que avances en los numeros naturales la densidad de primos es la misma, es decir, entre el 1 y el 100 hay mas o menos la misma cantidad de primos que entre el 100000 y el 100100, ademas de esto forman diagonales en la espiral… Se percibe un patrón pero no es matematizable, debe ser muy frustrante para la gente que se dedica a esto, pensadlo bien… y nunca llegareís a nada.

    Siento no poder hablaros sobre la encriptacion con primos gigantescos, solo se que tiene que ver con lo costoso de determinar si un numero es primo o no, cuesta tanto que para cuando hayas descifrado el mensaje ya habran pasado varios años y de nada te servira.

    Un saludo boludo.

  19. Juan

    Reafirmando lo que decía Iván, si bien es cierto existen algoritmos “menos lentos” que ese, no hay mayor diferencia entre tardar 100 años en lugar de 1000 para averiguar si un número es o no primo; todos aquellos algoritmos de los que tengo conocimiento o he escuchado aumentan su duración exponencialmente con respecto al tamaño del número, son no polinómicos (aunque una vez me sorprendieron con un presunto algoritmo cuyo aumento en la duración era considerablemente menor a una exponencial, pero su existencia no la puedo verificar)

    Volviendo al tema de la espiral de Ullam, a la que tanto parecen haber menospreciado según lo que leí en algunos de los últimos comentarios, quisiera aclarar una cosa: a pesar de que, tal vez, carezca de relevancia práctica, lejos están de haber descifrado el porqué de su formación con sólo decir que todos los primos (excepto el 2) son impares.
    Para que se note mejor lo que estoy diciendo pueden hacer la prueba con, qué se yo, las potencias de 3, y verán que aparecen dispersos por toda la gráfica, y casi se podría decir que disociados unos de otros, a pesar de ser todos ellos impares. Esto es porque, si se colorea el espacio de cada número como en un tablero de ajedrez y se les dispone en espiral, al decir que los números en cierto conjunto son impares, lo único que se garantiza es que todos caigan sobre el mismo color, sin que necesariamente formen algún patrón.
    Por su parte la espiral de Ullam sugiere de alguna forma es el trazado de líneas diagonales relativamente definidas, de cierta longitud y que escasamente se ven una al lado de la otra (y digo relativamente porque, mirá, son números primos, no podés esperar que salten mágicamente de alguna ecuación cuadrática). Aún así, me parece una observación bastante inteligente el haber asociado dicho “patrón” con la paridad del conjunto (y de hecho es probable que dicha distribución no tenga mucho que ver con que tales números sean primos o no)

    Saludos

    PD:

    Si Pi(x) es la cantidad de primos hasta x entonces
    Pi(x)/x tiende a 0, es decir, que su densidad disminuye al aumentar x.

    por su parte x/ln x es muy semejante a Pi(x), es decir, su cociente tiende a 1.

    Por cierto, se cree que los primos no se distribuyen al azar, más aún, existe una función estrechamente relacionada con la función Zeta de Riemann, de la cual se presume que aproxima tal distribución. Más aún, no debería considerarse azarosa su distribución por el simple hecho de no ser conocida.

    En cuanto a los patrones, indistintamente de si hay uno o no, no se puede considerar que los primos no sigan un patrón pero los compuestos sí, pues tales asertos son contradictorios.

    Sólo una cosa más: ¡El 1 no es primo!

  20. javi

    mi verdad esque todavia no sabemos la importancia que tiene la numerologia en la vida ,blanco o negro , si o no, par o impar por ejemplo el 1,11,111,1111,11111,111111,1111111,11111111 utilizar solo este numero ya ke el 0 no tiene valor y estos unos tiene la cualidad de crear otros numeros pero sin el 1 no hay numeros superiores ya ke los creamos nosotros para no decir que 5 es 1+1+1+1+1 nos inventamos el cinco pero todo parte de una primera unidad el 1.

  21. Jorge Ot

    Estaba interesado en algun programa que recreé la espiral de Ulam. Solo para dibujar , de momento. http://www.youtube.com/watch?v=92Ttjme7-Cc este video de un minuto , me gustaria hacer un poco de ArtUlam! XD

    111111111

  22. G.Bruneleschi

    He leído esto de la espiral de Teodoro y pregunto ¿Se forma una espiral haciendo triángulo rectángulos, cogiendo un cartabón o escuadra y dibujando triángulos sobre las hipotenusas de los anteriores? ¿Tiene expresión matemática, hay algún ser natural que se inspire o sea la base de esta nueva espiral? Gracias!

  23. Algoritmos para primos

    Buscando primos hay varias maneras de descartar números sin necesidad de factorizar. De entrada los pares (que se ven rapidamente porque acaban en 2,4,6,8,0), también podemos quitar los que acaban en 5 (que son multiplos de 5). Ya de entrada un número primo solo puede acabar en 1,3,7,9 (sin contar con el 2 y el 5), es una versión rápida de la Criba de Eratóstenes sin ser tan precisa. Y suponiendo que quieras saber si un número n es primo, solo habría que ir dividiendo por primos inferiores a raiz de n ( lo que viene siendo n^(1/2) ) y no hace falta comprobar el 2 y el 5 xq ya los has descartado. Otra cosa básica de cole, si las cifras del número suman 3 o múltiplo de 3, es divisible entre 3. Hay otros métodos un poco más complicados, donde casi es mejor usar un ordenador y un poco de programación. Mediante congruencias http://es.wikipedia.org/wiki/Congruencia_(teor%C3%ADa_de_n%C3%BAmeros) o usando algo parecido a lo siguiente: Sea un número menor a 2^n, como mucho tendrá n-1 factores distintos… no es mucho, pero es otra manera de ir acotando

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